Question

如图所示，正方形 ABCD 的面积为 16，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为_____________ ．

Answer

4

【解析】

先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知 BE＝AB＝4，连结

BP，依据正方形的对称性可知 PB＝PD，则 PE+PD＝PE+BP．由两点之间线段最短可知：当点 B、P、E 在一条直线上时，PE+PD 有最小值，最小值为BE的长.

【解析】
连结 BP．

∵四边形 ABCD 为正方形，面积为 16，

∴正方形的边长为 4．

∵△ABE 为等边三角形，

∴BE＝AB＝4．

∵四边形 ABCD 为正方形，

∴△ABP 与△ADP 关于 AC 对称．

∴BP＝DP．

∴PE+PD＝PE+BP．

由两点之间线段最短可知：当点 B、P、E 在一条直线上时，PE+PD 有最小值， 最小值＝BE＝4．

故答案为：4．