Question

如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AP′⊥AB，BP′交 AC 于点 P， AP＝AP′．

（1）求证：∠CBP＝∠ABP；

（2）过点 P′作 P′E⊥AC 于点 E，求证：AE＝CP．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形底角相等和∠CBP+∠BPC＝90°，∠ABP+∠AP′

P＝90°即可解题．

（2）过点 P 作 PD⊥AB 于 D，可证△APD≌△P′AE，可得 AE＝CP．

【解析】
（1）∵AP＝AP′，

∴∠APP′＝∠AP′P，

∵∠C＝90°，AP′⊥AB，

∴∠CBP+∠BPC＝90°，∠ABP+∠AP′P＝90°，

又∵∠BPC＝∠APP′（对顶角相等），

∴∠CBP＝∠A BP；

（2）如图，过点 P 作 PD⊥AB 于 D，

∵∠CBP＝∠ABP，∠C＝90°，

∴CP＝DP，

∵P′E⊥AC，

∴∠EAP′+∠AP′E＝90°， 又∵∠PAD+∠EAP′＝90°，

∴∠PAD＝∠AP′E，

在△APD 和△P′AE 中，

，

∴△APD≌△P′AE（AAS），

∴AE＝DP，

∴AE＝CP．