Question

如图，四边形ABCD中AC平分∠BAD，∠ADC=∠ACB=，E为AB的中点，AC与DE交于点F．

(1)求证： =AB·AD；

(2)求证：CE//AD；

(3)若AD=6， AB=8．求的值．

Answer

(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) ．

【解析】试题（1）由AC平分∠BAD，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；

（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；

（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．

试题解析：（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；

（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；

（3）【解析】
∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×8=4，∵AD=6，∴6：4=AF：CF，∴==．