Question

如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；

（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．

Answer

（1）y=﹣2x+12；y=﹣；（2）140；（3）x≥10，或﹣4≤x＜0；

【解析】

（1）根据OA、OB的长写出A、B两点的坐标，再用待定系数法求解一次函数的解析式，然后求得点C的坐标，进而求出反比例函数的解析式.

（2）联立方程组求解出交点坐标即可.

（3）观察函数图象，当函数y=kx+b的图像处于下方或与其有重合点时，x的取值范围即为的解集.

（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4，

∵CD⊥x轴，

∴OB∥CD，

∴△ABO∽△ACD，

∴，

∴，

∴CD=20，

∴点C坐标为（﹣4，20），

∴n=xy=﹣80.

∴反比例函数解析式为：y=﹣,

把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：,

解得：.

∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12,

（2）当﹣=﹣2x+12时，解得,

x1=10，x2=﹣4,

当x=10时，y=﹣8,

∴点E坐标为（10，﹣8）,

∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=.

（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象,

∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0.