Question

如图，G 为 BC 的中点，且 DG⊥BC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， BE＝CF．

（1）求证：AD 是∠BAC 的平分线；

（2）如果 AB＝8，AC＝6，求 AE 的长．

Answer

（1）见解析；（2）7.

【解析】

（1）因为G为BC的中点，且DG⊥BC，则DG是线段BC的垂直平分线，考虑连接DB、DC，利用线段的垂直平分线的性质，又因为DE⊥AB，DF⊥AC，可通过DE=DF说明AD是∠BAC的平分线；

（2）先通过△AED与△ADF的全等关系，说明AE与AF的关系，利用线段的和差关系，通过线段的加减求出AE的长．

（1）连接BD、DC

∵DG⊥BC，G为BC的中点，

∴BD=CD，

∵DG⊥BC，DE⊥AB

∴∠BED=∠CFD，

在Rt△DBE和Rt△DFC中，

∴△DBE≌△DFC

∴DE=DF，

∴∠BAD=∠FAD

∴AD是∠BAC的平分线；

（2）∵DE=DF，∠BAD=∠FAD，AD=AD

∴△AED≌△ADF，

∴AE=AF

∵AB=AE+BE，AC=AF-CF，

∴AB+AC=AE+AF，

∵AB=8，AC=6，

∴8+6=2AE，

∴AE=7．