Question

如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M 从点 B 出发以 2cm/s 的速度向点 A 运动，点 N 从点 A 出发以 1cm/s 的速度向点 C 运动，设 M、N 分别从点 B、A 同时出发，运动的时间为 ts．

（1）用含 t 的式子表示线段 AM、AN 的长；

（2）当 t 为何值时，△AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形？

（3）当 t 为何值时，MN∥BC？并求出此时 CN 的长．

Answer

（1）AM＝10﹣2t，AN＝t；（2）t＝；（3）当 t＝时，MN∥BC，CN＝．

【解析】

（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到AM＝AN，列方程即可得到结论．

（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，

∴∠B＝30°，

∵AB＝10cm，

∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；

（2）∵△AMN是以 MN为底的等腰三角形，

∴AM＝AN，即10﹣2t＝t，

∴当t＝时，△AMN 是以MN为底边的等腰三角形；

（3）当MN⊥AC时，MN∥BC，

∵∠C＝90°，∠A＝60°，

∴∠B＝30°，

∵MN∥BC，

∴∠NMA＝30°，

∴AN＝AM，

∴t＝（10﹣2t），解得t＝，

∴当t＝时，MN∥BC，

CN＝5﹣×1＝．