Question

如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．

（1）若半圆的半径为10．

①当∠AOM=60°时，求DM的长；

②当AM=12时，求DM的长．

（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）①DM= 10；②MD=；（2）∠CMD=45°.

【解析】

（1）①当时，所以△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；

②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x， 利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．

（2）根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．

（1）①当∠AOM=60°时，

∵

∴△AMO是等边三角形，

∴∠A=∠MOA=60°，

∴∠MOD=30°，∠D=30°，

∴DM=OM=10

②过点M作MF⊥OA于点F，

设

∴

∵

由勾股定理可知：

∴

∴

∵MF∥OD，

∴△AMF∽△ADO，

∴

∴

∴

（2）当点M位于之间时，

连接BC，

∵C是的中点，

∴∠B=45°，

∵四边形AMCB是圆内接四边形，

此时∠CMD=∠B=45°，

当点M位于之间时，

连接BC，

由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°

综上所述，∠CMD=45°