Question

抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求∠ACB的度数；

（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

Answer

（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D（，）．

【解析】

试题把点的坐标代入即可求得抛物线的解析式.

作BH⊥AC于点H，求出的长度，即可求出∠ACB的度数.

延长CD交x轴于点G，△DCE∽△AOC，只可能∠CAO=∠DCE.求出直线的方程，和抛物线的方程联立即可求得点的坐标.

试题解析：（1）由题意，得

解得．

∴这条抛物线的表达式为．

（2）作BH⊥AC于点H，

∵A点坐标是（－1，0），C点坐标是（0，3），B点坐标是（，0），

∴AC=，AB=，OC=3，BC=．

∵，即∠BAD=，

∴．

Rt△ BCH中，，BC=，∠BHC=90º，

∴．

又∵∠ACB是锐角，∴．

（3）延长CD交x轴于点G，

∵Rt△ AOC中，AO=1，AC=，

∴．

∵△DCE∽△AOC，∴只可能∠CAO=∠DCE．

∴AG = CG．

∴．

∴AG=5．∴G点坐标是（4，0）．

∵点C坐标是（0，3），∴．

∴ 解得，（舍）.

∴点D坐标是