Question

如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，连接AF、BE交于点G．

（1）求证：△CAF∽△CBE；

（2）若AF平分∠BAC，求证：AC²＝2AG•AF．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用AA证明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用SAS证明△CAF∽△CBE

（2）根据题意求出△ABF∽△AGB，再转化相关关系即可解答.

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∵EF⊥AC，

∴∠FEC＝90°＝∠ABC，

又∵∠FCE＝∠ACB，

∴△CEF∽△CAB，

∴＝，

又∵∠ACF＝∠BCE，

∴△CAF∽△CBE；

（2）∵△CAF∽△CBE，

∴∠CAF＝∠CBE，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAF＝∠CAF，

∴∠BAF＝∠CBE，

∴∠BAF+∠AFB＝∠CBE+∠AFB＝90°，

即∠ABF＝∠BGA＝90°，

∵∠BAG＝∠BAF，

∴△ABF∽△AGB，

∴＝，

∴AB2＝AG•AF，

∵正方形ABCD中，AC2＝2AB2，

∴AC2＝2AG•AF