Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若DE＝2BC，AD＝5，求OC的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；

（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．

试题解析：（1）连结DO．

∵AD∥OC，

∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．

又∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠COD=∠COB． 3分

又∵CO＝CO, OD＝OB

∴△COD≌△COB（SAS） 4分

∴∠CDO=∠CBO=90°．

又∵点D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线．

（2）∵△COD≌△COB．

∴CD=CB．

∵DE=2BC，

∴ED=2CD．

∵AD∥OC，

∴△EDA∽△ECO．

∴，

∴．