Question

如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆⊙O交于点D．

（1）求证：DB＝DC；

（2）若∠CAB＝30°，BC＝4，求劣弧的长度．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据圆内接四边形的性质，圆周角定理得到∠DCB=∠DBC，根据等腰三角形的判定定理证明；

（2）根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB=60°，∠CDB=∠CAB=30°，得到△COB为等边三角形，求出OC，∠COD，根据弧长公式计算．

（1）证明：∵AD平分∠EAC，

∴∠EAD=∠CAD，

∵A，D，C，B四点共圆，

∴∠EAD=∠DCB，

由圆周角定理得，∠CAD=∠CBD，

∴∠DCB=∠DBC，

∴DB=DC；

（2）如图，连接OB、OC、OD，

由圆周角定理得，∠COB=2∠CAB=60°，∠CDB=∠CAB=30°，

∴△COB为等边三角形，

∴OC=BC=4，

∵DC=DB，∠CDB=30°，

∴∠DCB=75°，

∴∠DCO=15°，

∴∠COD=150°，

则劣弧的长=．