Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若CE＝1，BC＝6，求半圆O的半径的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）4.5

【解析】

（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；

（2）连接AD．由AB为半圆O的直径，得到∠ADB=90°，根据垂直的定义得到∠DEC=∠ADB=90°．根据等腰三角形的性质得到CD=BD=BC=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：连接OD．

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD．

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠OBD．

∴∠ACB=∠ODB．

∴OD∥AC，

∴∠DEC=∠ODE．

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°．

∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，

∵DE过半径OD的外端点D，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接AD．

∵AB为半圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=∠ADB=90°．

∵AB=AC，BC=6，

∴CD=BD=BC=3，

又∵∠ECD=∠DBA，

∴△CED∽△BDA，

∴．

∵CE=1，

∴．

∴AB=9，

∴半圆O的半径的长为4.5．