Question

如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，点E为AC边上一点，且AE＝3cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠EPF＝90°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．

（1）当x＝      s时，EP＝PF；

（2）求在点P运动过程中，y与x之间的函数关系式；

（3）点F运动路程的长是    cm．

Answer

（1）当x=1s时，EP=PF；（2）y=﹣x2+x；（3）点F运动路程是cm．

【解析】

（1）利用全等三角形的性质即可解决问题；

（2）利用相似三角形的性质，即可解决问题；

（3）两条二次函数的性质，求出y的最大值即可解决问题；

（1）∵四边形ABCD是正方形，∠EPF=90°，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠APE+∠AEP=90°，∵∠APE+∠BPF=90°，

∴∠BPF=∠AEP，∵EP=PF，

∴△AEP≌△BPF，

∴AE=PB=3，

∴AP=AB﹣PB=1，

∴当x=1s时，EP=PF；

（2）∵∠EPF=90°，

∴∠EPA+∠BPF=90°

又∵∠EPA+∠AEP=90°，

∴∠AEP=∠BPF，

在△EAP与△PBF中，

∠AEP=∠BPF，∠EAP=∠PBF=90°，

∴△EAP∽△PBF，

∴=，即=，

∴y=﹣x2+x．

（3）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴y有最大值，最大值为，

∴点F运动路程是cm．