Question

如图，抛物线y=﹣x²+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列三个判断中:①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③抛物线上有两点P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂；正确的是（　　）

A. ①    B. ②    C. ③    D. ①②③都不对

Answer

C

【解析】

观察函数图象可直接得到抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；把A点坐标代入y＝﹣x2+2x+m+1中求出m，确定抛物线解析式，再通过解方程﹣x2+2x+3＝0得到B点坐标，从而可对②进行判断；先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，则点P和点Q在对称轴两侧，所以点P到直线x＝1的距离为1﹣x1，点Q到直线x＝1的距离为x2﹣1，然后比较点Q点对称轴的距离和点P点对称轴的距离的大小，再根据二次函数的性质可对③进行判断．

当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；

当a＝﹣1时，A点坐标为（﹣1，0），把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+m+1得：﹣1﹣2+m+1＝0，解得：m＝2，则抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，解方程﹣x2+2x+3＝0得：x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），即b＝3，所以②错误；

抛物线的对称轴为直线x1，因为x1＜1＜x2，所以点P和点Q在对称轴两侧，点P到直线x＝1的距离为1﹣x1，点Q到直线x＝1的距离为x2﹣1，则x2﹣1﹣（1﹣x1）＝x2+x1﹣2，而x1+x2＞2，所以x2﹣1﹣（1﹣x1）＞0，所以点Q到对称轴的距离比点P到对称轴的距离要大，所以y1＞y2，所以③正确．

故选C．