Question

将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，过B'作B'P∥BC，交AE于点P，连接BP．已知BC=3，CB'=1，下列结论：①AB=5；②sin∠ABP=；③四边形BEB′P为菱形；④S_{四边形BEB'P}﹣S_△ECB'=1，其中正确的个数是（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】

（1）根据翻折的性质和勾股定理列方程求解，①正确；

（2）根据翻折的性质和B′P∥BC证明B′P=BE，四边形BEB′P为平行四边形，再由BE=B′E，四边形BEB′P为菱形，③正确；

（3）延长B′P与AB交于点M，则PM⊥AB，根据勾股定理得到BE，进而求出BP、PM，sin∠ABP=；故②错误；

（4）S四边形BEB′P-S△ECB′=BE×CB′-CE×CB′=1，④正确．

（1）设AB=CD=x，根据翻折的性质AB=AB′=x，B′D=x-1，AD=3

∴x2=（x-1）2+32，

解得：x=5，

∴①正确；

（2）∵B′P∥BC，

∴∠BEP=∠B′PE，

根据翻折的性质∠BEP=∠B′EP，

∴∠B′EP=∠B′PE，

∴B′E=B′P，

∵BE=B′E，

∴BE=B′P，

∴四边形BEB′P为菱形，

∴③正确；

（3）延长B′P与AB交于点M，则PM⊥AB，

设BE=m，则CE=3-m，CB′=1，

∴m2=（3-m）2+12，

解得：m=，

∴BE=BP=B′P=，

∴CE=PM=，

∴sin∠ABP=，

∴②错误；

（4）S四边形BEB′P-S△ECB′=BE×CB′-CE×CB′=×1-××1=1，

∴④正确．

故选C．