Question

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若∠F=30°，EB=6，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

Answer

（1）证明见解析；（2）9﹣3π

【解析】

试题(1)、连接OD，根据平行四边形的性质得出∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，结合OB=OD得出∠DOC=∠AOC，从而证明出△COD和△COA全等，从而的得出答案；(2)、首先根据题意得出△OBD为等边三角形，根据等边三角形的性质得出EC=ED=BO=DB，根据Rt△AOC的勾股定理得出AC的长度，然后根据阴影部分的面积等于两个△AOC的面积减去扇形OAD的面积得出答案.

试题解析：（1）如图连接OD．

∵四边形OBEC是平行四边形，∴OC∥BE，∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠DOC=∠AOC，

在△COD和△COA中，，∴△COD≌△COA，∴∠CDO=∠CAO=90°，

∴CF⊥OD， ∴CF是⊙O的切线．

（2）∵∠F=30°，∠ODF=90°，∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，

∵OD=OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠4=60°，∵∠4=∠F+∠1，∴∠1=∠2=30°，

∵EC∥OB，∴∠E=180°﹣∠4=120°，∴∠3=180°﹣∠E﹣∠2=30°，∴EC=ED=BO=DB，

∵EB=6，∴OB=OD═OA=3， 在Rt△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=3，∠AOC=60°，

∴AC=OA•tan60°=3， ∴S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD=2××3×3﹣=9﹣3π．