Question

如图，AB是⊙O的直径，AC平分∠DAB交⊙O于点C，过点C的直线垂直于AD交AB的延长线于点P，弦CE交AB于点F，连接BE．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若PC＝PF，试证明CE平分∠ACB．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）连接OC，如图，先证明∠2=∠3得到OC∥AD，然后利用平行线的性质得到OC⊥CD，从而根据切线的判定定理得到PD是⊙O的切线；

（2）先证明∠1=∠PCB，再根据等腰三角形的性质得∠PCF=∠PFC，然后利用∠PCF=∠PCB+∠BCF，∠PFC=∠1+∠ACF，从而可判断∠BCF=∠ACF．

证明：（1）连接OC，如图，

∵AC平分∠DAB，

∴∠1＝∠2，

∵OA＝OC，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴PD是⊙O的切线；

（2）∵OC⊥PC，

∴∠PCB+∠BCO＝90°，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，即∠3+∠BCO，

∴∠3＝∠PCB，

而∠1＝∠3，

∴∠1＝∠PCB，

∵PC＝PF，

∴∠PCF＝∠PFC，

而∠PCF＝∠PCB+∠BCF，∠PFC＝∠1+∠ACF，

∴∠BCF＝∠ACF，

即CE平分∠ACB．