Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O，且经过A，D两点，交AB于点E·

（1）求证：BC是⊙O的切线；   

（2）AC=2，AB=6，求BE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）3．

【解析】

试题（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明OD∥AC，根据平行线的性质得到∠BOD=90°，根据切线的判定定理证明；

（2）由OD∥AC可证△BDO∽△BCA，由相似三角形的性质得．设OD=r，则BO=6﹣r，代入比例式求出r，从而求出BE的值.

（1）证明：连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC．

∵∠ACB=90°，∴∠ODB=90°．

即OD⊥BC于D，∴BC是⊙O的切线．

（2）∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴．

∵AC=2，AB=6，∴设OD=r，则BO=6﹣r，∴．

解得r=，∴AE=3，∴BE=3．