Question

已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．

（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；

（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；

（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．

Answer

【解析】
（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC。

（2）（1）中的结论PO∥BC成立。理由为：

由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。

又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。

∴PO∥BC。

（3）证明：∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。

由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO为等边三角形。

∴∠AOP=60°。

又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。

又∵OC=OB，∴△BC为等边三角形。∴∠COB=60°。

∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°。

又∵OP=OC，∴△POC也为等边三角形。∴∠PCO=60°，PC=OP=OC。

又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。

在Rt△PCD中，PD=PC，

又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD。

【解析】折叠的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。

（1）由折叠可得，由∠AOP=∠POC ；因为∠AOC和∠ABC是弧所对的圆心角和圆周角，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOP=∠ABC；根据同位角相等两直线平行的判定，得PO与BC的位置关系是平行。

（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠COP=∠ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行。

（3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC⊥CD，又AD⊥CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC∥AD，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出△AOP三内角相等，确定出△AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到

∠AOP=60°，由OP∥BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到△OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出△POC为等边三角形，得到内角∠OCP=60°，可求出∠PCD=30°，在Rt△PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC=圆的半径OP=直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证。