Question

如图，已知抛物线y=﹣x²﹣2x+m+1与x轴交于A（x₁  ， 0）、B（x₂  ， 0）两点，且x₁＜0，x₂＞0，与y轴交于点C，顶点为P．（提示：若x₁  ， x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根，则x₁+x₂=﹣ ，x₁•x₂= ）

(1)求m的取值范围；

(2)若OA=3OB，求抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．

Answer

(1)m＞﹣1；(2)y=﹣x2﹣2x+3；(3)存在点Q（﹣1，2）使得△BQC的周长最短.

【解析】

（1）将抛物线的问题转化到一元二次方程中，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解决；

（2）先用一元二次方程的两根表示出OA，OB，再用根与系数的关系即可；

（3）先由于点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，连接AC与PD的交点就是使△BQC的周长最短，然后确定出直线AC解析式，最后将抛物线的对称轴代入直线AC解析式中即可．

(1)令y=0，则有﹣x2﹣2x+m+1=0，

即：x1 ， x2是一元二次方程x2+2x﹣（m+1）=0，

∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）两点，

∴x1•x2=﹣（m+1），x1+x2=﹣2，

△=4+4（m+1）＞0，

∴m＞﹣2

∵x1＜0，x2＞0，

∴x1•x2＜0，

∴﹣（m+1）＜0，

∴m＞﹣1，

即m＞﹣1

(2)【解析】
∵A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）两点，且x1＜0，x2＞0，

∴OA=﹣x1 ， OB=x2 ，

∵OA=3OB，

∴﹣x1=3x2 ， ①

由(1)知，x1+x2=﹣2，②

x1•x2=﹣（m+1），③

联立①②③得，x1=﹣3，x2=1，m=2，

∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3

(3)存在点Q，

理由：如图，

连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短，（∵点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，）

连接BQ，

由(2)知，抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3；x1=﹣3，

∴抛物线的对称轴PD为x=﹣1，C（0，3），A（﹣3，0），

∴用待定系数法得出，直线AC解析式为y=x+3，

当x=﹣1时，y=2，

∴Q（﹣1，2），

∴点Q（﹣1，2）使得△BQC的周长最短