Question

已知实数 a、b、c满足 a+b²＝1，a+1＝c²﹣2c，若 m＝2a²+5b²，实数 m的取值范围是______

Answer

2≤m≤23

【解析】

根据a+b2＝1，a+1＝c2﹣2c，可以求得a的取值范围，再根据m＝2a2+5b2和二次函数的性质即可求得m的取值范围．

∵a+b2＝1，a+1＝c2﹣2c，∴b2＝1﹣a，a+2＝（c﹣1）2，∴，得：﹣2≤a≤1．

∵b2＝1﹣a，∴m＝2a2+5b2＝2a2+5（1﹣a）＝2a2﹣5a+5．

∵m＝2a2﹣5a+5的对称轴是直线a，a＞0，∴当a时，m随a的增大而减小．

∵﹣2≤a≤1，∴当a＝﹣2时，m取得最大值，此时m＝23，当a＝1时，m取得最小值，此时m＝2，∴m的取值范围是2≤m≤23．

故答案为：2≤m≤23．