Question

如果一元二次方程ax²+bx+c＝0 的两根 x₁，x₂均为正数，其中x₁＞x₂，且满足1＜x₁﹣x₂＜2，那么称这个方程有“友好根”．

（1）方程（x﹣）（x﹣）＝0_____“友好根”（填：“有”或“没有”）；

（2）已知关于x的 x²﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0有“友好根”，求 t的取值范围．

Answer

（1）没有；（2）4＜t＜5．

【解析】

（1）先解方程得到x1，x2，则不满足1＜x1﹣x2＜2，所以可判断方程没有“友好根”；

（2）根据判别式的意义得到△＝（t﹣1）2﹣4×1×（t﹣2）＝（t﹣3）2＞0，利用求根公式解得x1＝t﹣2，x2＝1或x1＝t﹣2，x2＝1，然后讨论：若x1＝t﹣2，x2＝1，则得到4＜t＜5；若x1＝1，x2＝t﹣2，则不合题意，最后综合得到t的取值范围．

（1）方程（x）（x）＝0 没有“友好根”，理由如下：

∵（x）（x）＝0，∴x1，x2，这时x1＞0，x2＞0，但x1﹣x2＜1，∴不满足x1＞x2且满足1＜x1﹣x2＜2这个条件，∴方程（x）（x）＝0 没有“友好根”．

故答案为：没有；

（2）x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0，由已知△＝（t﹣1）2﹣4×1×（t﹣2）＝（t﹣3）2＞0，∴x，∴当t＞3时，x1＝t﹣2，x2＝1，当t＜3时，x1＝1，x2＝t﹣2．

∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有“友好根”，∴x1，x2均为正数，x1＞x2且满足1＜x1﹣x2＜2，若x1＝t﹣2，x2＝1，则1＜t﹣2﹣1＜2，解得：4＜t＜5；

若x1＝1，x2＝t﹣2，则，无解．

综上，t的取值范围是4＜t＜5．