Question

如图，抛物线 y＝﹣x²+x+2 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点C．

（1）求 A，B，C的坐标；

（2）直线 l：y＝﹣x+2上有一点 D（m，﹣2），在图中画出直线 l和点 D，并判断四边形ACBD的形状，说明理由．

Answer

（1）A（﹣1，0）；B（4，0）；C（0，2）；（2）图形见解析；四边形ACBD为矩形．

【解析】

（1）分别代入x＝0，y＝0求出与之对应的y，x的值，进而即可得出点A，B，C的坐标；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，依照题意画出图形，设CD交AB于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，结合点A，B，C的坐标可得出AB＝CD，AB，CD互相平分，利用矩形的判定定理即可证出四边形ACBD为矩形．

（1）当x＝0时，yx2x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）．

当y＝0时，有x2x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）．

（2）∵点D（m，﹣2）在直线yx+2上的，∴﹣2m+2，解得：m＝3，∴点D的坐标为（3，﹣2）．

依照题意画出图形，设CD交AB于点E，如图所示，四边形ACBD为矩形．理由如下：

当y＝0时，有x+2＝0，解得：x，∴点E的坐标为（，0）．

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），D（3，﹣2），E（，0），∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，CD5，CE，AE（﹣1），∴AEAB，CECD，∴AB＝CD，AB，CD互相平分，∴四边形ACBD为矩形．