Question

已知抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为 B，且抛物线不过第三象限．

(1)过点B作直线l垂直于x轴于点C，若点C坐标为（2，0），a=1，求b和c的值；

(2)比较与0的大小，并说明理由；

(3)若直线y₂=2x+m经过点B，且与抛物线交于另外一点D（，b+8），求当≤x＜5时y₁的取值范围．

Answer

（1）b=﹣4，c=3；（2）＜0；（3）＞y1≥﹣2

【解析】

抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），抛物线不过第三象限，则a＞0，把点A坐标代入函数，即可得到：b=-a-c；

（1）由题意得：函数对称轴是x=2=，而a=1、b=-a-c，解得：b=-4，c=3；

（2）由抛物线开口向上，且过点A，知：顶点在x轴下方，即：＜0；

（3）由韦达定理得：x2=，而D坐标是（，b+8），故：b+8=0，即b=-8，求函数表达式即可求解．

【解析】
∵抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过 A（1，0），抛物线不过第三象限，则 a＞0，

把点代入函数即可得到：b=﹣a﹣c；

由题意得：函数对称轴是 x=2=，而 a=1、b=﹣a﹣c， 解得：b=﹣4，c=3；

由抛物线开口向上，且过点 A，知：顶点在 x 轴下方， 即：＜0；

由韦达定理得：

x1+x2= ，x1x2= ，

其中 x1=1，则 x2=，而 D 坐标是（，b+8），故：b+8=0，即 b=﹣8，

∵a+c=﹣b，∴a+c=8…①，

把 B、C 两点代入直线解析式易得：c﹣a=4…②， 联立①、②并求解得：a=2，c=6

函数表达式为：y=2x2﹣8x+6，

A、B、C 点的坐标分别为（1，0）、（2，﹣2）、（3，0）.

当≤x＜5 时，y1 的取值范围为：＞y1≥﹣2，