Question

如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆ACB上的动点（不与A、B两点重合），过点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交圆于点P，则点P的位置有何规律？请证明你的结论．

Answer

点P为半圆AB的中点．

【解析】

连接OP，如图，根据角平分线的定义得∠PCD=∠PCO，而∠PCO=∠OPC，则∠PCD=∠OPC，根据平行线的判定得OP∥CD，由于CD⊥AB，根据平行线的性质得到OP⊥AB，然后根据垂径定理即可得到弧PA=弧PB．

点P为半圆AB的中点．理由如下：

连接OP，如图，

∵∠OCD的平分线交圆于点P，

∴∠PCD=∠PCO，

∵OC=OP，

∴∠PCO=∠OPC，

∴∠PCD=∠OPC，

∴OP∥CD，

∵CD⊥AB，

∴OP⊥AB，

∴弧PA=弧PB，

即点P为半圆的中点．