Question

如图，直线BC与半径为6的⊙O相切于点B，点M是圆上的动点，过点M作MC⊥BC，垂足为C，MC与⊙O交于点D，AB为⊙O的直径，连接MA、MB，设MC的长为x，（6＜x＜12）．

（1）当x=9时，求BM的长和△ABM的面积；

（2）是否存在点M，使MD•DC=20？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）BM=6；S△ABM=18；（2）不存在；理由见解析.

【解析】

（1）利用切线的性质以及平行线的性质进而得出∠BMC=∠ABM以及∠BCM=∠AMB=90°，即可得出△BCM∽△AMB，根据相似三角形的性质即可求得BM的长，根据勾股定理求得BC，然后根据三角形面积公式求得△ABM的面积；

（2）首先得出四边形OBCE为矩形，进而得出MD•DC=2（x-6）•（12-x），进而求出最值即可判定．

（1）∵直线BC与半径为6的⊙O相切于点B，且AB为⊙O的直径，

∴AB⊥BC，

又∵MC⊥BC，

∴AB∥MC，

∴∠BMC=∠ABM，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AMB=90°，

∴∠BCM=∠AMB=90°，

∴△BCM∽△AMB，

∴，

∴BM2=AB•MC=12×9=108，

∴BM=6，

∵BC2+MC2=BM2 ，

∴BC==3

∴S△ABM=AB•BC=×12×3=18；

（2）过O作OE⊥MC，垂足为E，

∵MD是⊙O的弦， OE⊥MD，

∴ME=ED，

又∵∠CEO=∠ECB=∠OBC=90°，

∴四边形OBCE为矩形，

∴CE=OB=6，

又∵MC=x，

∴ME=ED=MC﹣CE=x﹣6，MD=2（x﹣6），

∴CD=MC﹣MD=x﹣2（x﹣6）=12﹣x，

∴MD•DC=2（x﹣6）•（12﹣x）=﹣2x2+36x﹣144=﹣2（x﹣9）2+18   

∵6＜x＜12，

∴当x=9时，MD•DC的值最大，最大值是18，

∴不存在点M，使MD•DC=20．