Question

如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄以下判断：①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PDC，则△PAD≌△PBC；③若S₁＝S₂，则S₃＝S₄；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4；其中正确的是_______．

Answer

①③④

【解析】

①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的最小值，即可判断；

②若△PAB≌△PDC，则PA=PD，PB=PC，所以P在线段AD、BC的垂直平分线上，无法判断△PAD≌△PBC，故②错误；

③易证S1+S3=S2+S4，所以若S1=S2，则S3=S4，即可判断；

④根据相似三角形的性质可得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得出∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形面积公式可得PA=2.4，即可判断．

①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；

②若△PAB≌△PDC，则PA=PD，PB=PC，所以P在线段AD、BC的垂直平分线上，无法判断△PAD≌△PBC，故②错误；

③若S1=S2，易证S1+S3=S2+S4，则S3=S4，故③正确；

④若△PAB～△PDA，则∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，B、P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA=2.4，故④正确．

故答案为①③④．