Question

如图①，正方形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，DG⊥EF于点 H．

（1）求证：DG＝EF；

（2）在图①的基础上连接AH，如图②，若 AH＝AD，试确定DF与 CG的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，作∠FEK＝45°，点 K在 BC边上，如图③，若AE＝KG＝2，求EK的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）DF＝2GC；（3）.

【解析】

（1）过点F作FM⊥AB于点M，由题意可证MF=BC=CD，∠BEF=∠DFE=∠DGC，即可证△EFM≌△GDC，即可得EF=DG；

（2）过点A作AM⊥DG于点M，过点C作CN⊥DG于点N．由题意可证△ADM≌△DCN，可得DM=CN=DH，由题意可证△DFH∽△DGC，可得＝2，即可得DF=2CG

（3）过点F作FM⊥AB，连接MK，FK，由题意可证Rt△EMF≌Rt△GCD，可求EM=GC，由AM=DF=2GC，可得GC=EM=2，则可证点E，点F，点K，点M四点共圆，可得∠EMF=∠EKF=90°，可证△BEK≌△CKF，可得CK=BE=4，BM=2=BK，根据勾股定理可求EK的长．

（1）证明：过点F作FM⊥AB于点M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，AB∥CD

∵FM⊥AB，∠B=∠C=90°

∴四边形BCFM是矩形

∴MF=BC

即MF=CD

∵EF⊥DG，

∠C=90°

∴∠CDG+∠DGC=90°，∠CDG+∠DFE=90°

∴∠DGC=∠DFE

∵AB∥CD

∴∠BEF=∠EFD

∴∠BEF=∠DGC，且MF=CD，∠EMF=∠C=90°

∴△EFM≌△GDC（AAS）

∴EF=GD

（2）DF=2GC

过点A作AM⊥DG于点M，过点C作CN⊥DG于点N．

∵CN⊥DG，∠ADC=90°

∴∠ADG+∠GDC=90°，∠GDC+∠NCD=90°

∴∠ADG=∠DCN

∵AD=AH，AM⊥DG

∴MD=MH=DH，

∵AD=CD，∠AMD=∠CND=90°，∠ADG=∠NCD

∴△ADM≌△DCN（AAS）

∴MD=NC

即DH=2NC

∵∠DGC=∠DFE，∠DHF=∠DCG=90°

∴△DFH∽△DGC

∴＝2

∴DF=2GC

（3）如图：过点F作FM⊥AB，连接MK，FK，

∵FM⊥AB，∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°

∴四边形ADFM是矩形，四边形BCFM是矩形

∴DF=AM，AD=MF=BC=CD，

∵EF=DG，MF=CD

∴Rt△EMF≌Rt△GCD（HL）

∴GC=EM

∵DF=2GC

∴AM=2GC=2EM

∴AE=EM=2=CG

∴DF=4=CK

∴BK=BM

∴∠BMK=∠BKM=45°

∴∠FMK=45°

∵∠FMK=∠FEK=45°

∴点E，点F，点K，点M四点共圆

∴∠EMF=∠EKF=90°

∴∠FEK=∠EFK=45°

∴EK=FK，

∵∠BEK+∠EKB=90°，∠FKC+∠EKB=90°

∴∠FKC=∠BEK，且∠B=∠C=90°，EK=FK

∴△BEK≌△CKF（AAS）

∴CK=BE=4

∴BM=2=BK

∴EK=.