Question

如果方程x²+px+q=0有两个实数根x₁， x₂，那么x₁+x₂=﹣p，x₁x₂=q，请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知a、b是方程x²+15x+5=0的二根，则=?

（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y₁y₂﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）43（2）4（3）存在，当k=﹣2时，

【解析】

（1）根据a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．

（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2-4•≥0，即可求出c的最小值．

（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1•x2=k+1，再解y1y2-=2，即可求出k的值．

（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，

∴a+b=﹣15，ab=5，

∴===43，

故答案是：43；

（2）∵a+b+c=0，abc=16，

∴a+b=﹣c，ab= ，

∴a、b是方程x2+cx+=0的解，

∴c2﹣4•≥0，c2﹣≥0，

∵c是正数，

∴c3﹣43≥0，c3≥43 ， c≥4，

∴正数c的最小值是4．

（3）存在，当k=﹣2时， ．

由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k，

由x﹣y=1变形得：y=x﹣1，把y=x﹣1代入y=x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1=0，

由题意思可知，x1 ， x2是方程x2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：

即：

解得：k=﹣2．