Question

如图，已知线段AB，P₁是AB的黄金分割点（AP₁＞BP₁），点O是AB的中点，P₂是P₁关于点O的对称点．求证：P₁B是P₂B和P₁P₂的比例中项． 

Answer

见解析

【解析】

设AB=2，根据黄金分割的定义得AP1=AB=，则P1B=3-，由点O是AB的中点得OB=1，所以OP1=-2，由于P2是P1关于点O的对称点，则P1P2=2-4，可计算出P2B=-1，然后同过计算得到P1B2=14-6，P2B•P1P2=14-6，即P1B2=P2B•P1P2，所以P1B是P2B和P1P2的比例中项．

证明：设AB=2，

∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），

∴AP1=×2=﹣1，

∴P1B=2﹣（﹣1）=3﹣，

∵点O是AB的中点，

∴OB=1，

∴OP1=1﹣（3﹣）=﹣2，

∵P2是P1关于点O的对称点，

∴P1P2=2（﹣2）=2﹣4，

∴P2B=2﹣4+3﹣=﹣1，

∵P1B2=（3﹣）2=14﹣6，P2B•P1P2=（﹣1）（2﹣4）=14﹣6，

∴P1B2=P2B•P1P2 ，

∴P1B是P2B和P1P2的比例中项