Question

在平面直角坐标系中，如图1，第二象限内一点B（a，b），过B线段BA垂直于x轴，垂足为点A，实数a、b满足，D（4，0），将线段AB向右平移使点A和点D重合得到线段DC,连接BC与y轴相交于点M.

（1）求点C的坐标；

（2）如图2,动点P从A点出发，沿折线AB-BC运动，运动到点C即停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，当点P运动至线段BC上时，请用含有t的代数式表示在这一运动过程中线段PM的长，并直接写出t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，y轴上有一点E（0，2），在点P在折线AB-BC运动过程中是否存在t值，使三角形PBE的面积为2，若存在，求出t值，并求出此时点P的坐标.

Answer

（1）C（4，3）；（2）PM=5-2t（≤t＜）；PM=2t-5（＜t≤）；（3）t=或时，△PBE的面积为2，P点的坐标为（-2，1）和（2，3）.

【解析】

(1)根据非负数之和求出a，b易知C点坐标.

(2) 讨论点P在BM上，点P在CM上，根据BM，CM长度可算出PM的长度.

(3) 讨论当点P在线段AB上，当点P在线段BC上时，分别求出t值和P点坐标即可.

【解析】
（1）∵≥0， ≥0

又∵，

∴=0，=0

∴

∴B（-2，3），A（-2，0）

又∵线段AB向右平移使点A和点D重合得到线段DC，D（4，0）

∴点C与点B对应 即C（4，3）

（2）由（1）得，AB=3，BC=AD=6，设BC与y轴相交于点M，

∵BC∥x轴

∴M（0，3）

∴BM=2，MC=4

当点P在BM上时，即≤t＜

PM=5-2t

当点P在CM上时，即＜t≤

PM=2t-5

（3）有两种情况：

情况一：当点P在线段AB上

∵PB·BM=2

∴BM=2

∴BP=2

∴ AP=AB-BP=1 即2t=1，t=，

此时P（-2，1）情况二，当点P在线段BC上时

∵PB·BM=2

∴BM=1

∴BP=4

∴2t-3=4，t=

此时P（2，3）

综上，当t=或时，△PBE的面积为2，此时P点的坐标为（-2，1）和（2，3）.