Question

如图，O为直线AB上一点，∠DOC为直角，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论错误的是（    ）

A. ∠DOG与∠BOE互补    B. ∠AOE－∠DOF＝45°

C. ∠EOD与∠COG互补    D. ∠AOE与∠DOF互余

Answer

D

【解析】

根据角平分线的定义可设∠AOE=∠COE=α，∠BOG=∠COG=β，利用平角等于得出α+β=90°，∠EOG=90°．根据同角的余角相等得出∠DOG=∠COE=90°-∠COG=α，则∠BOD=∠DOG-∠BOG=α-β．∠BOF=∠DOF=（α-β）．然后根据互余、互补的定义分别判断即可．

【解析】
∵OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，

∴可设∠AOE=∠COE=α，∠BOG=∠COG=β，

∵O为直线AB上一点，

∴∠AOB=180°，

∴2α+2β=180°，

∴α+β=90°，∠EOG=90°．

∵∠DOC=90°，

∴∠DOG=∠COE=90°-∠COG=α，

∴∠BOD=∠DOG-∠BOG=α-β．

∵OF平分∠BOD，

∴∠BOF=∠DOF=（α-β）．

A、∵∠DOG=α=∠AOE，∠AOE+∠BOE=180°，

∴∠DOG+∠BOE=180°，

故本选项结论正确，不符合题意；

B、∵∠AOE=α，∠DOF=（α-β），

∴∠AOE-∠DOF=α-（α-β）=（α+β）=45°，

故本选项结论正确，不符合题意；

C、∵∠EOD=∠EOG+∠GOD=90°+α，∠COG=β，

∴∠EOD+∠COG=90°+α+β=180°，

故本选项结论正确，不符合题意；

D、∵∠AOE+∠DOF=α+（α-β）=α-β=α-（90°-α）=2α-45°，

∴当α=67.5°时，∠AOE+∠DOF=90°，

但是题目没有α=67.5°的条件，

故本选项结论错误，符合题意；

故选：D．