Question

已知：点E为矩形ABCD外一点，连接AE，DE，且AE＝DE，连接EB，EC分别与AD相交于点F，G．

（1）如图1，求证：∠ABE＝∠DCE；

（2）如图2，若△BCE是等边三角形，且AE＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的钝角三角形．

Answer

（1）证明见解析（2）△ABE≌△DCE，△ABE≌△EAD，△EAD≌△EDC，△AFE≌△DGE

【解析】

（1）先由四边形ABCD是矩形，得出AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．由EA=ED，得出∠EAD=∠EDA，根据等式的性质得到∠EAB=∠EDC．然后利用SAS即可证明△EAB≌△EDC；

（2）题意可知，△ABE，△DCE，△EAD都是顶角为120°的等腰三角形，且AB=AE=ED=CD，△AFE，△DGE都是顶角为120°的等腰三角形且AE=ED，由此即可判断.

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠BAD＝∠CDA＝90°，

∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∴∠EAB＝∠EDC，

在△EAB与△EDC中，

，

∴△EAB≌△EDC（SAS），

∴∠ABE＝∠DCE；

（2）由题意可知，△ABE，△DCE，△EAD都是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝AE＝ED＝CD，

∴△ABE≌△DCE，△ABE≌△EAD，△EAD≌△EDC，

∵△AFE，△DGE都是顶角为120°的等腰三角形且AE＝ED，

∴△AFE≌△DGE．

∴四对全等的钝角三角形有：△ABE≌△DCE，△ABE≌△EAD，△EAD≌△EDC，△AFE≌△DGE．