Question

如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC＝90°，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点．

（1）求证：△ABM≌△DBN；

（2）试探索BM和BN的关系，并证明你的结论．

Answer

（1）见解析；（2）△MBN是等腰直角三角形，理由见解析

【解析】

（1）根据SAS即可证明结论；（2）通过证明△ABM≌△DBN可证明BM=BN，∠ABM=∠DBN．根据∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°可得∠DBN+∠DBM=∠MBN=90°，即可得答案.

（1）【解析】
在△ABE和△DBC中 ，

∴△ABE≌△DBC

（2）【解析】
△MBN是等腰直角三角形，证明如下：

∵△ABE≌△DBC，

∴AE=CD，∠BAM=∠BDN．

∵M，N分别是AE，CD的中点，

∴AM=AE，CN=CD．

∴AM=CN．

在△ABM和△DBN中 ，

∴ABM≌△DBN．

∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．

∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°，

∴∠ABD=∠ABM+∠DBM=90°．

∴∠DBN+∠DBM=∠MBN=90°．

∴△MBN是等腰直角三角形．