Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线．

（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．

Answer

（1）答案见解析；（2）．

【解析】

试题（1）连接OD，AB为⊙O的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；

（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF．

试题解析：（1）证明：连结OD

∵OD=OB∴∠ODB=∠DBO

又AB=AC

∴∠DBO=∠C

∴∠ODB =∠C

∴OD ∥AC

又DE⊥AC

∴DE ⊥OD

∴EF是⊙O的切线．

（2）∵AB是直径

∴∠ADB=90 °

∴∠ADC=90 °

即∠1+∠2=90 °又∠C+∠2=90 °

∴∠1=∠C

∴∠1 =∠3

∴

∴

∴AD=8

在Rt△ADB中，AB=10∴BD=6

在又Rt△AED中，

∴

设BF=x

∵OD ∥AE

∴△ODF∽△AEF

∴ ，即，

解得：x=