Question

如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为_____；

（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；

（3）当t=1时，抛物线y=x²+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）(，2)；（2）或；（3）存在；D(﹣，)或(，)．

【解析】

（1）根据点P，Q的运动速度找出当t＝2时，点P，Q的坐标，再利用中点坐标公式即可求出此时线段PQ的中点坐标；

（2）根据点P，Q的运动速度找出运动时间为t秒时，PA，QA，QB，CB的值，由∠B＝∠A＝90°，可得出当或时，△CBQ与△PAQ相似，代入各线段的值即可求出t值；

（3）当t=1时，先求出P，Q的坐标，然后求出抛物线的解析式，配方求出顶点K的坐标．分两种情况讨论，利用相似三角形的判定与性质求出HQ、OQ的解析式，再和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论．

（1）当t＝2时，点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（3，4），∴线段PQ的中点坐标为（），即（，2）．

故答案为：（，2）．

（2）当运动时间为t（0≤t≤3）秒时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（3，2t），∴PA＝3﹣t，QA＝2t，QB＝6﹣2t，CB＝3．

∵∠B＝∠A＝90°，∴当或时，△CBQ与△PAQ相似．

①当时，，解得：t1，t2（不合题意，舍去）；

②当时，，解得：t或t=3（舍去）．

综上所述：t的值为或．

（3）当t=1时，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线：y=x2﹣3x+2=，∴顶点K（，）．

∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x轴．

作抛物线对称轴，交MQ于E，∴KM=KQ，KE⊥MQ，∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ．

如图2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，设DQ交y轴于H．

∵∠HMQ=∠QEK=90°，∴△KEQ∽△QMH，∴，∴，∴MH=2，∴H（0，4），易得HQ的解析式为：，则，x2﹣3x+2=，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）；

同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE．

由对称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：，则，x2﹣3x+2=，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）．

综上所述：点D的坐标为：D（，）或（，）．