Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE交AB于点F，⊙O的切线BC与AD的延长线交于点C，连接AE．

（1）试判断∠AED与∠C的数量关系，并说明理由；

（2）若AD=3，∠C=60°，点E是半圆AB的中点，则线段AE的长为　   　．

Answer

（1）∠AED=∠C（2）

【解析】

（1）根据切线的性质和圆周角定理解答即可；

（2）根据勾股定理和三角函数进行解答即可．

（1）∠AED=∠C，证明如下：

连接BD，

可得∠ADB=90°，

∴∠C+∠DBC=90°，

∵CB是⊙O的切线，

∴∠CBA=90°，

∴∠ABD+∠DBC=90°，

∴∠ABD=∠C，

∵∠AEB=∠ABD，

∴∠AED=∠C，

（2）连接BE，

∴∠AEB=90°，

∵∠C=60°，

∴∠CAB=30°，

在Rt△DAB中，AD=3，∠ADB=90°，

∴cos∠DAB=，

解得：AB=2，

∵E是半圆AB的中点，

∴AE=BE，

∵∠AEB=90°，

∴∠BAE=45°，

在Rt△AEB中，AB=2，∠ADB=90°，

∴cos∠EAB=，

解得：AE=．

故答案为：