Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是____．

Answer

1

【解析】

设AC与⊙O相切于点D，连接OD，AO．在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC=6，再证明BC=PC，所以可求∠BPC=45°．设⊙O的半径是r，根据三角形ABP的面积的两种表示方法，得2r+10r=12，解方程即可求解．

【解析】
设AC与⊙O相切于点D，连接OD，AO，⊙O的半径是r，

∵∠C=90°，AC=8，AB=10，

∴BC=6，

∵PC=8-2=6，

∴BC=PC；

∴∠BPC=45°，

∴S△APB=S△APO+S△AOB=S△ABC-S△BCP，×2r+×10r=×6×8-×6×6

2r+10r=12，

解得r=1．

熟练运用勾股定理，根据已知条件发现特殊直角三角形，运用三角形面积的不同表示方法列方程求