Question

将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．

（1）当旋转至如图②位置，点B（E），C,D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是        ．

（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）在图③中，连接BO,AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．

Answer

（1）∠AFD=∠DCA（或相等）；（2）∠AFD=∠DCA（或成立）；（3）BO⊥AD．

【解析】

（1）要证∠AFD＝∠DCA，只需证△ABC≌△DEF即可；

（2）结论成立，先证△ABC≌△DEF，再证△ABF≌△DEC，得∠BAF＝∠EDC，推出∠AFD＝∠DCA；

（3）BO⊥AD，由△ABC≌△DEF得BA＝BD，点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD＝∠BDA，继而证得∠OAD＝∠ODA，OA＝OD，点O在AD的垂直平分线上，即BO⊥AD．

（1）∠AFD＝∠DCA．证明如下：

∵AB＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∴∠AFD＝∠DCA；

（2）∠AFD＝∠DCA（或成立），理由如下：

由（1）得：△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，∠BAC＝∠EDF，∴∠ABC﹣∠CBF＝∠DEF﹣∠CBF，∴∠ABF＝∠DEC．

在△ABF和△DEC中，∵，∴△ABF≌△DEC（SAS），∠BAF＝∠EDC，∴∠BAC﹣∠BAF＝∠EDF﹣∠EDC，即∠FAC＝∠CDF．

∵∠AOD＝∠FAC+∠AFD＝∠CDF+∠DCA，∴∠AFD＝∠DCA；

（3）如图，BO⊥AD．证明如下：

由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，得∠BAC＝∠BDF，BA＝BD，∴点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD＝∠BDA．

∵∠OAD＝∠BAD﹣∠BAC，∠ODA＝∠BDA﹣∠BDF，∴∠OAD＝∠ODA，∴OA＝OD，点O在AD的垂直平分线上，∴直线BO是AD的垂直平分线，即BO⊥AD．