Question

对于二次函数y=mx²+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：

①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；

②当m=﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；

③当m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小；

Answer

①是真命题，②是假命题，③为假命题；理由见解析.

【解析】

①根据二次函数y=mx2+（5m+3）x+4m，可进行变形，得到y═（x2+5x+4）m+3x，只要令x2+5x+4=0，则所得的x的值就与m无关，从而可以解答本题；

②将m=-1代入函数解析式，然后分别令x=0和y=0求出相应的y值和x的值，即可解答本题；

③根据抛物线的解析式可以求得对称轴，然后根据m<0，可知在对称轴右侧y随x的增大而减小，然后令对称轴的值等于-，求得m的值然后看m的值是否小于0，即可解答本题．

【解析】
①是真命题，

理由：∵y=mx2+（5m+3）x+4m=（x2+5x+4）m+3x，

∴当x2+5x+4=0时，得x=﹣4或x=﹣1，

∴x=﹣1时，y=﹣3；x=﹣4时，y=﹣3；

∴二次函数y=mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）的图象一定过定点（﹣1，﹣3），

故①是真命题；

②是假命题，

理由：当m=﹣1时，则函数为y=﹣x2﹣2x﹣4，

∵当y=0时，﹣x2﹣2x﹣4=0，△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（﹣4）=﹣12＜0；当x=0时，y=﹣4；

∴抛物线与x轴无交点，与y轴一个交点，

故②是假命题；

③是假命题，

理由：∵y=mx2+（5m+3）x+4m，

∴对称轴x=﹣=﹣=﹣﹣，

∵m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小，

∴--≤-，得m≥，

∵m＜0与m≥矛盾，

故③为假命题；