Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx+3的对称轴是x=1， 并且经过点（－2，－5）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合）， 若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标；

（3）点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标.

Answer

(1) 抛物线的解析式为;(2)(，)，（1，3）（3）（2，3）、（4，-5）、（-4，-21）.

【解析】

（1）根据待定系数法列出方程组，求出a、b的值即可；（2）根据抛物线解析式求出与x轴、y轴的交点，根据相似三角形的性质列出比例式，结合勾股定理解答即可；（3）画出图形，根据平行四边形的性质可得M点坐标.

（1）题意，得

解这个方程组，得

∴ 抛物线的解析式为

（2）令， 得.

解这个方程得，．

令．

所以AB=4，OB=0C=3，,所以．

过点D作DE⊥x轴于点E．

∵,BE=DE．

要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，

已有∠ABC＝∠OBD， 则只需成立．

若成立，

则有BD＝．

在Rt△BDE中，由勾股定理，得

BE2＋DE2＝2BE2＝BD2＝．

∴BE＝DE＝．

∴OE＝OB－BE＝3－．

∴点D的坐标为（）．  

若成立，则有BD＝.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2＋DE2＝2BE2＝BD2＝（2）2．

∴BE＝DE＝2．

∴OE＝OB－BE＝3－2＝1．

∴点D的坐标为（1,2）．    

∴点D的坐标为（）或（1,2）．

（3）点M的坐标为（2,3）或（4，﹣5）或（﹣4，﹣21）．