Question

如图，△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是_____．

Answer

2

【解析】

先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，最后根据a2+b2=8，判断ab的最大值即可．

如图，延长EP交BC于点F，

∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，

∴∠EPC=150°，

∴∠CPF=180°-150°=30°，

∴PF平分∠BPC，

又∵PB=PC，

∴PF⊥BC，

设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则CF=CP=b，a2+b2=8，

∵△APE和△ABD都是等边三角形，

∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，

∴∠EAD=∠PAB，

∴△EAD≌△PAB（SAS），

∴ED=PB=CP，

同理可得：△APB≌△DCB（SAS），

∴EP=AP=CD，

∴四边形CDEP是平行四边形，

∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，

又∵（a-b）2=a2-2ab+b2≥0，

∴2ab≤a2+b2=8，

∴ab≤2，

即四边形PCDE面积的最大值为2．

故答案为：2．