Question

已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．求证：

（1）△ABD≌△CFD；

（2）BE⊥AC．

Answer

(1)证明见解析;(2) 证明见解析.

【解析】

试题（1）由垂直的性质推出∠ADC=∠FDB=90°，再由∠ACB=45°，推出∠ACB=∠DAC=45°，即可求得AD=CD，根据全等三角形的判定定理“ASA”，即可推出结论;（2）由（1）的结论推出BD=DF，根据AD⊥BC，即可推出∠DBF=∠DFB=45°，再由∠ACB=45°，通过三角形内角和定理即可推出∠BEC=90°，即BE⊥AC．

试题解析：（1）∵AD⊥BC,

∴∠ADC=∠ADB=90°,

又∵∠ACB=45°,

∴∠DAC=45°,

∴∠ACB=∠DAC,

∴AD=CD,

在△ABD和△CFD中,∠BAD=∠FCD, AD=CD∠ADB=∠FDC,

∴△ABD≌△CFD;

(2)∵△ABD≌△CFD,

∴BD=FD,

∴∠1=∠2,

又∵∠FDB=90°,

∴∠1=∠2=45°,

又∵∠ACD=45°,

∴△BEC中，∠BEC=90°,

∴BE⊥AC.