Question

如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C（a，4）．

（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；

（2）如图2，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴于点E，交直线y=2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若点E的坐标是（4，0）．

①求△CGF的面积；

②直线l上是否存在点P，使OP+BP的值最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若（2）中的点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＞0），当点E在x轴上运动时，探究下列问题：

当m取何值时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等？请直接写出相应的m的值．

Answer

（1）y=﹣x+6；（2）①6；②P（4，3）；（3）A题：m的值为2或6或8．B题：m的值为3或6或或．

【解析】

（1）将C（2，4）和A（6，0）代入y=kx+b，即可得到直线AB的解析式；

（2）①设点F（4，y1），G（4，y2），分别代入y=2x和y=-x+6，可得FE=8，GE=2，FG=6，过点C作CH⊥FG于H，依据S△FCG=FG×CH，进行计算即可；②设点O关于直线l的对称点为D（8，0），设直线BD的解析式为y=mx+n，将B（0，6），D（8，0）代入y=mx+n，可得直线BD的解析式为y=-x+6，令x=4，则y=3，即可得出P（4，3）；

（3）选A题时，需要分数轴情况进行讨论，画出图形，依据全等三角形的对应顶点的位置，即可得到m的值；选B题时，依据△BFG是等腰三角形分四种情况进行讨论，进而得出m的值．

（1）将点C（a，4）代入y=2x，可得a=2，

∴C（2，4），

将C（2，4）和A（6，0）代入y=kx+b，可得

，解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；

（2）①如图1，∵l⊥x轴，点E，F，G都在直线l上，且点E的坐标为（4，0），

∴点F，G的横坐标均为4，

设点F（4，y1），G（4，y2），分别代入y=2x和y=﹣x+6，可得

y1=8，y2=2，

∴F（4，8），G（4，2），

∴FE=8，GE=2，FG=6，

如图2，过点C作CH⊥FG于H，

∵C（2，4），

∴CH=4﹣2=2，

∴S△FCG=FG×CH=×6×2=6；

②存在点P（4，3），使得BP+OP的值最小．

理由：设点O关于直线l的对称点为D（8，0），

设直线BD的解析式为y=mx+n，

将B（0，6），D（8，0）代入y=mx+n，可得

，解得，

∴直线BD的解析式为y=﹣x+6，

点P在直线l：x=4上，令x=4，则y=3，

∴P（4，3）；

（3）A题：m的值为2或6或8．

理由：分三种情况讨论：

①当△OAC≌△QCA，点Q在第四象限时，∠ECA=∠EAC，

∴AE=CE=4，OE=6﹣4=2，

∴m=2；

②当△ACO≌△ACQ，Q在第一象限时，OE=AO=6，

∴m=6；

③当△ACO≌△CAQ，点Q在第四象限时，四边形AOCQ是平行四边形，CQ=AO=6，AE=2，

∴OE=8，

∴m=8；

B题：m的值为3或6或或．

理由：分四种情况讨论：

①如图，当BG=GF时， m=﹣m+6﹣2m，

解得m=；

②如图，当BF=GF时，m=2m﹣（﹣m+6），

解得m=3；

③如图，当GB=GF时，m=2m﹣（﹣m+6），

解得m=；

④如图，当BG=BF时，FG=BG，即2m﹣（﹣m+6）=×m，

解得m=6．