Question

如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．

（1）求证：四边形AGDH为菱形；

（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；

（3）连结OF，CG．

①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；

②若BC＝3，则CG+9＝______．（直接写出答案）．

Answer

（1）证明见解析；（2）y＝x2（x＞0）；（3）①π或8π或（2+2）π；②4．

【解析】

（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得解决问题；
（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
②只要证明△CFG∽△HFA，可得=，求出相应的线段即可解决问题；

（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，

∴HA＝HD，GA＝GD，

∵AB是直径，AB⊥GH，

∴EG＝EH，

∴DG＝DH，

∴AG＝DG＝DH＝AH，

∴四边形AGDH是菱形．

（2）【解析】
∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠ACB＝90°，

∵∠EAF＝∠CAB，

∴△AEF∽△ACB，

∴，

∴，

∴y＝x2（x＞0）．

（3）①【解析】
如图1中，连接DF．

∵GH垂直平分线段AD，

∴FA＝FD，

∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，

∴AB＝，

∴⊙O的面积为π．

如图2中，当AF＝AO时，

∵AB＝＝，

∴OA＝，

∵AF＝＝，

∴＝，

解得x＝4（负根已经舍弃），

∴AB＝，

∴⊙O的面积为8π．

如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝，

∵△ACE∽△ABC，

∴AC2＝AE•AB，

∴16＝x•，

解得x2＝2﹣2（负根已经舍弃），

∴AB2＝16+4x2＝8+8，

∴⊙O的面积＝π••AB2＝（2+2）π

综上所述，满足条件的⊙O的面积为π或8π或（2+2）π；

②如图3中，连接CG．

∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，

∴AB＝5，

∴OH＝OA＝，

∴AE＝，

∴OE＝OA﹣AE＝1，

∴EG＝EH＝＝，

∵EF＝x2＝，

∴FG＝﹣，AF＝＝，AH＝＝，

∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，

∴△CFG∽△HFA，

∴，

∴，

∴CG＝﹣，

∴CG+9＝4．

故答案为4．