Question

正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD交于点M，作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．

（1）如图，当0°＜α＜45°时：

①依题意补全图；

②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：___________；

（2）当45°＜α＜90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明；

（3）当0°＜α＜90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．

Answer

（1）①补图见解析；②∠NCE＝2∠BAM；（2）∠NCE+∠BAM＝90°，证明见解析；（3）1+．

【解析】

（1）作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．由△ABM≌△CBM，可得∠BAM＝∠BCM，由∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一点，可得∠BAM＝∠BCE，即可得到∠MCE＝2∠BAM，由点N与点M关于直线CE对称，可得CN＝CM，即可得到∠NCE＝∠MCE，进而得出∠NCE＝2∠BAM；

（2）连接CM，判定△ADM≌△CDM，即可得到∠DAM＝∠DCM，再根据∠DAQ＝∠ECQ，即可得到∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，即，再根据∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，即可得到；

（3）依据∠CEA＝90°，即可得到点E在以AC为直径的圆上，当EF经过圆心O时，即可得出线段EF长的最大值．

（1）①补全的图形如图所示：

②∠NCE＝2∠BAM．理由如下：

如图1，连接MC．

∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM．

∵BM=BM，∴△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM．

∵∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一点，∴∠BAM＝∠BCE，∴∠MCE＝2∠BAM．

∵点N与点M关于直线CE对称，∴CN＝CM，∴∠NCE＝∠MCE，∴∠NCE＝2∠BAM．

故答案为：∠NCE＝2∠BAM．

（2）．理由如下：

如图，连接CM．

∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，DM＝DM，∴△ADM≌△CDM，∴∠DAM＝∠DCM．

∵∠ADQ＝∠CEQ＝90°，∠AQD＝∠CQE，∴∠DAQ＝∠ECQ，∴∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，∴．

∵∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，∴．

（3）如图，∵∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的圆上，O为圆心，由题可得：OFCD＝1，OE＝OCAC．

∵OE+OF≥EF，∴当EF经过圆心O时，．