Question

如图∠A＝∠ABC＝∠C＝45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF＝BD，③∠ADC＝∠BEF+∠BFE，④AD＝DC，其中正确的是（　　）

A. ①②③④    B. ①②③    C. ①②④    D. ②③④

Answer

B

【解析】

根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用全等三角形的性质求解.

如下图所示：连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P.∵∠ABC=∠C=45°，∴CP⊥AB，∵∠ABC=∠A=45°，∴AQ⊥BC，点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM⊥AC，由中位线定理可得EF∥AC，EF=AC，∴BD⊥EF，故①正确；∵∠DBQ+∠DCA=45°,∠DCA+∠CAQ=45°，∴∠DBQ=∠CAQ，∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，∵∠BQD=∠AQC=90°，∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC，∴EF=AC，故②正确；∵∠A=∠ABC=∠C=45°，∴∠DAC+∠DCA=180°−(∠A+∠ABC+∠C)=45°，∴∠ADC=180°−(∠DAC+∠DCA)=135°=∠BEF+∠BFE=180°−∠ABC，故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；无法证明AD=CD，故④错误.故选B.