Question

如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，CE的长为y．

（1）当D为BC的中点时，求CE的长；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值．

Answer

(1);(2) y＝﹣x2+x（0≤x＜8）；(3) 2或.

【解析】

（1）先根据等腰三角形的性质由AB=AC得∠B=∠C，再利用三角形外角性质得∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，加上∠ADE=∠B，则∠BAD=∠CDE，根据相似三角形的判定方法待定△ABD∽△DCE，利用相似比得到y=-x2＋x（0≤x≤8），然后把x=4代入计算得到CE的长为；
（2）由（1）得到y关于x的函数关系式为y=-x2＋x（0≤x≤8）；
（3）由于∠AED＞∠C，而∠B=∠ADE=∠C，则∠AED＞∠ADE，所以AE＜AD，然后分类讨论：当DA=DE时，利用△ABD∽△DCE得到=1，即x=y，得到一元二次方程-x2＋x＝x，解方程得x1=0（舍去），x2=2；当EA=ED时，得到∠EAD=∠ADE，而∠ADE=∠C，所以∠EAD=∠C，可判断△DAC∽△ABC，利用相似比得到=，解得x=．

【解析】
（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，

而∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴，

∴y=-x2＋x，

当x＝4时， y=-×16＋×4＝，

即当D为BC的中点时，CE的长为；

（2）由（1）得y关于x的函数关系式为y=-x2＋x（0≤x≤8）；

（3）∵∠AED＞∠C，

而∠B＝∠ADE＝∠C，

∴∠AED＞∠ADE，

∴AE＜AD，

当DA＝DE时，

∵△ABD∽△DCE，

∴，即＝1，

∴x＝y，

∴-x2＋x＝x，解得x1＝0（舍去），x2＝2，

当EA＝ED时，则∠EAD＝∠ADE，

而∠ADE＝∠C，

∴∠EAD＝∠C，

∴△DAC∽△ABC，

∴，即=，

∴x＝，

综上所述，当△ADE为等腰三角形，x的值为2或．