Question

如图①，直线y＝kx+2与坐标轴交于A、B两点，OA＝4，点C是x轴正半轴上的点，且OC＝OB，过点C作AB的垂线，交y轴于点D，抛物线y＝ax²+bx+c过A、B、C三点．

（1）求抛物线函数关系式；

（2）如图②，点P是射线BA上一动点（不与点B重合），连接OP，过点O作OP的垂线交直线CD于点Q．求证：OP＝OQ；

（3）如图③，在（2）的条件下，分别过P、Q两点作x轴的垂线，分别交x轴于点E、F，交抛物线于点M、N，是否存在点P的位置，使以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1) y＝﹣x2﹣x+2; (2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）根据自变量与函数值的对应关系可得A、B点坐标，再根据OB＝OC可得C点坐标，进而根据待定系数法可得抛物线解析式；（2）根据题意易得∠BAO＝∠ODC，然后根据“ASA”证得△AOB≌△COD，进而可得OA＝OD，∠OAD＝∠ODQ，再根据∠POQ＝∠AOD＝90°得到∠AOP＝∠DOQ，因此可证△AOP≌△DOQ，即可证OP＝OQ；（3）设点P横坐标为n，则点P坐标为（n， n+2），点M的坐标为（n， n2﹣n+2），通过证△OPE≌△OQF（AAS）确定Q，N的坐标，由题意可得PM∥QN，故当PM＝QN时，以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形，分P在M点上方以及P在M点下方两种情况进行讨论，根据PM＝QN求出点P坐标即可.

【解析】
（1）∵OA＝4

∴点A（﹣4，0）

∵直线y＝kx+2与坐标轴交于A、B两点，

∴点B（0，2），0＝﹣4k+2

∴OB＝2，k＝

∴直线解析式y＝x+2

∵OC＝OB＝2

∴点C（2，0）

∵抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．

∴ ，

解得：a＝﹣，b＝﹣，c＝2

∴抛物线解析式：y＝﹣x2﹣x+2;

（2）∵CD⊥AB

∴∠BAO+∠DCO＝90°

又∵∠ODC+∠DCO＝90°

∴∠BAO＝∠ODC且OB＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°

∴△AOB≌△COD（ASA）

∴OA＝OD，∠OAB＝∠ODC

∴∠OAP＝∠ODQ

∵∠POQ＝90°，∠AOD＝90°

∴∠AOP＝∠DOQ且OA＝OD，∠OAP＝∠ODQ

∴△AOP≌△DOQ（ASA）

∴OP＝OQ

（3）设点P横坐标为n，则点P坐标为（n， n+2），点M的坐标为（n， n2﹣n+2）

∵QF⊥x轴，

∴∠FQO+∠QOF＝90°，且∠QOF+∠POE＝90°

∴∠FQO＝∠EOP

又∵∠OEP＝∠QFO＝90°，OP＝OQ

∴△OPE≌△OQF（AAS）

∴OE＝QF，PE＝OF

∴点Q的坐标为（n+2，﹣n），点N坐标（n+2，﹣n2﹣n）．

由题意可得PM∥QN

当PM＝QN时，以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形

当点P位于点M上方时：如图：

∴PM＝（n+2）﹣（n2﹣n+2）＝n2+n

QN＝（﹣n）﹣（﹣n2﹣n）＝n2﹣n

∴n2﹣n＝n2+n

解得：n＝0（不合题意舍去），n＝﹣

∴×（﹣）+2＝﹣

∴点P坐标为（﹣，﹣）

当点P位于点M下方时，如图：

∴PM＝（n2﹣n+2）﹣（n+2）＝﹣n2﹣n

QN＝（﹣n）﹣（﹣n2﹣n）＝n2﹣n

∴﹣n2﹣n＝n2﹣n

解得：n＝0（不合题意舍去），n＝﹣，

∴×（﹣）+2＝

∴点P的坐标为（﹣，）

综上所述：点P坐标（﹣，﹣），（﹣，）