Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AC平分∠DAB，求证：AD⊥CD．

Answer

详见解析.

【解析】

试题连接OC，根据切线的性质得到OC与CD垂直，进而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC为角平分线，根据角平分线定义得到两个角相等，又OA=OC，根据等边对等角得到∠OAC=∠OCA，等量代换后得到∠DAC=∠OCA，从而AD∥OC，由平行线的性质可得∠ADC=90º.

证明：连接OC，如图所示：

∵CD为圆O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠OAC，

又OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∴∠OCD+∠ADC=180°，又∠OCD=90°，

∴∠ADC=90°，

∴AD⊥DC．